数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。数学（mathematics）这一词在西方源自于古希腊语，其有学习、学问、科学，以及另外还有个较狭意且技术性的意义－“数学研究”。其希腊语被亚里士多德拿来指“万物皆数”的概念。
        今日，数学被运用于很多不同的领域，包括科学、工程、医学和经济学等。数学对这些领域的应用通常被称为应用数学，有时亦会激起新的数学发现，并导致全新学科的发展。数学家亦研究没有任何实际应用价值的纯数学，即使其应用常会在之后被发现。创立于二十世纪三十年代的法国的布尔巴基学派认为：数学，至少纯粹数学，是研究抽象结构的理论。结构，就是以初始概念和公理出发的演绎系统。布学派认为，有三种基本的抽象结构：代数结构（群，环，域……），序结构（偏序，全序……），拓扑结构（邻域，极限，连通性，维数……）。
        数学主要被运用于税务和贸易的相关计算与统计中。后来，为了了解数字间的关系、测量土地，预测天文事件，数学开始被运用于越来越多的领域研究，这些研究可以简单地被概括为对数量、结构、空间及时间方面的研究。
        数学出现于包含着数量、结构、空间和变化等等的困难问题之中。到了16世纪，算术、初等代数、以及三角学等初等数学已大体完备，17世纪变量概念的产生，使人们开始研究变化中的量与量的互相关系和图形间的互相变换。
        今日，所有的科学都存在着值得数学家研究的问题，且数学本身亦存在着许多问题。牛顿和莱布尼兹是微积分的发明者，费曼发明了费曼路径积分，用于推理及物理的洞察。今日的弦理论亦生成为新的数学，一些数学只和生成它的领域有关，并且又被应用于对此领域更多问题的解答。但一般来说，在一个领域生成的数学也可以在其他许多不同的领域内被有效使用，并且还成为数学概念的一般常识。即使是“最纯的”数学，通常也可以被有效的运用于很多实际的问题上，这一卓越的事实被维格纳称为“数学在自然科学中有不可想像的有效性”。 

       许多数学家在谈论数学的优美，包括其内在的美学和本身的形式美，简单和一般化即为美的一种。另外也包括巧妙的证明，如欧几里德对存在无限多质数的证明，如加快计算的数值方法，如快速傅里叶变换等等。高德菲·哈罗德·哈代在《一个数学家的自白》这篇文章中表示，其所相信的美学思维足够使其进行纯数学的研究。
        我们现今所使用的大部份数学符号都是16世纪后才被发明出来的。在此之前，数学是以文字的形式书写出来的，从而会限制阻碍数学的发展。现今的数学符号使专家更容易操作，它被极度压缩，少量的符号包含著大量的讯息。如同音乐符号一般，现今的数学符号有明确的语法，和难以以其他方法书写的讯息编码。
        数学使用这些特别符号和专有术语做为数学语言是有原因的：首先，数学需要比日常用语更精确，数学家将此称为“严谨”。严谨是数学证明中最基本的一部分，也是非常重要的一部分。为了避免错误的“定理”，数学家希望他们的定理能以系统化的推理方式，被推论成公理。依据不可靠的直观，而造成错误的“定理”，这样的事例在历史上曾出现过很多次。数学中被期许的严谨程度因时间不同而不同，希腊人期许仔细的论点，而在牛顿时代相比较而言所使用的方法并不严谨。牛顿为解决问题所下的定义，到十九世纪才被小心的分析及证明。今日的数学家们则在持续地争论电脑辅助证明的严谨度，当大量的计量难以被验证时，其证明很难说是有效地严谨。
        早期的数学是演算，完全着眼于实际的运算需要上，如同反映在中国算盘上的一样。如上面所述，数学率先产生于商业计算的需要、了解数字间关系的需要、测量土地的需要及预测天文事件的需要，这四种需要大致与数量、结构、空间、变化(即算术、代数、几何及分析)等数学上广泛的子领域相关连。除了上述主要的关注之外，也有用来探索数学核心，和其他领域之间连结的子领域上的：如逻辑、如集合论(基础)、如不同科学经验上的数学(应用数学)、和一些近代的不确定性的学习上。
        许多如数和函数的集合等数学物件都有内在的结构，这些物件的结构性质被探讨于群、环、体及其他本身即为此结构性质的抽象系统中，而这正是抽象代数的领域。在此有一个很重要的概念：向量，并且把“向量”广义化至向量空间，研究于线性代数中。向量的研究结合了数学的三个基本领域：数量、结构及空间。向量分析则将其扩展至第四个基本的领域内，即变化。 
        空间，空间的研究源自于几何——尤其是欧式几何。三角学结合了空间及数，而且包含有着名的勾股定理。现今对空间的研究更推广到了更高维的几何、非欧几何(其在广义相对论中扮演着核心的角色)及拓扑学。数和空间在解析几何、微分几何和代数几何中都有着很重要的角色，在微分几何中有着纤维丛及流形上的计算等概念。在代数几何中有着如多项方程式的解集等几何物件的描述，结合了数和空间的概念；亦有拓扑群的概念，结合了结构与空间，被用来研究空间、结构及变化。在其许多分支中，拓扑学可能是二十世纪数学中有着最大进展的领域，并包含着存在久远的庞加莱猜想及有争议的四色定理，其只被电脑证明，而从没有被人力验证过。
        变化，了解及描述变化在自然科学里是一个普遍的议题，而微积分就是被用来做为研究发展变化的有利工具的，函数就诞生于此。做为描述-变化量的核心概念。对于实数及实变函数的严格研究为实分析，而复分析则是对复数的等价领域的分析。黎曼猜想是数学最基本的未解决的问题之一，它就是以复分析来描述的。泛函分析注重函数的(一般为无限维)空间上，泛函分析的众多应用之一为量子力学。许多问题会很自然地导出数量与变化率之间的关系，而这则被微分方程所研究着，在自然界中许多的现象都可以被动力系统所描述。
        为了搞清楚数学基础，数学逻辑和集合论等领域被发展了出来。数学逻辑专注于将数学置于一个坚固的公理架构上，并研究此架构的成果。就其本身而言，它是哥德尔第二不完备定理的产地，而这或许是逻辑中最广为流传的成果：总存在不能被证明的真实定理。现代逻辑被分成递归论、模型论和证明论，他们都和理论计算机科学有着密切的关连性。
        应用数学思考将抽象的数学工具运用在解答科学、工商业及其他领域的现实问题上。应用数学中的一个重要领域为统计学，它利用机率论为其工具，并允许对含有机会成分的现象进行描述、分析与预测。大部分的实验、测量及观察研究需要统计对其资料的分析。(许多统计学家并不认为他们是数学家，反而更倾向于认为自己是合作团体中的一份子。)数值分析研究如何有效利用电脑，来解决大量因太大而不可能以人类的演算能力算出的数学问题，它也包含了对计算中舍入误差或其他来源的误差的研究。
        现代数学建立在集合论的基础上，集合论的重要意义就在于它把数学的抽象能力延伸到人类认识过程的深处。一组对象确定一组属性，人们可以通过说明属性来说明概念（内涵），也可以通过指明对象来说明它。符合概念的那些对象的全体叫做这个概念的外延，外延其实就是集合。从这个意义上讲，集合可以表现概念，而集合论中的关系和运算又可以表现为判断和推理，一切现实的理论系统都可能纳入集合描述的数学框架。
        各门学科，尤其是人文、社会学科及其它“软科学”的数学化、定量化趋向把模糊性的数学处理问题推向中心地位。我们研究人类系统的行为，或者处理可与人类系统行为相比拟的复杂系统，如航天系统、人脑系统、社会系统等。参数和变量甚多，各种因素相互交错，系统很复杂，模糊性也很明显。更重要的是，随着电子计算机、控制论、系统科学的迅速发展，要使计算机能像人脑那样对复杂事物具有识别能力，就必须研究和处理模糊性问题。
        “数派理论”的数学研究已经远离了简单的代数、几何、空间概念，主要是依靠多维式拓朴结构对事物的发展变化精确定位、定性。
        根据“数派理论”，一个事物X的属性是一个集合，假设有(A、B、C、D、E、……)个属性；每个属性又有其不同的属性A（A1、A2、A3、A4、A5……）、B(B1、B2、B3、B4、B5……)、……；A1也有不同的属性(A11、A12、A13、A14、A15……)、……等等；各属性的维数要根据所要预测事物的属性来确定，同时相同层级的属性还有共同的交集，交集是相邻单元的共同属性的集合，以些类推……，就可以定出相邻单元的所有属性，层层属性交织成一个多维空间的网络，最终将事物的发展变化精确定位在具体的时间点上和空间位置上。

  
                                           “网络”拓朴图 

                                                “网络”拓朴图
        上面两幅“网络”拓朴图形象的表示了一个网络的地址，这只是一个最初级的拓朴图。
        股市中的波动规律也可以简化成这样一个拓朴图，利用大盘或个股的时间、空间属性，相应的就可以精确定位大盘及个股时间、空间的变化。
        能够把基础前沿数学应用到股市中，本身已经是极大的创新，而能用数学把股市预测的如此准确，目前只有“数派理论”能够做得到。可以说，“数派理论”是目前世界范围内金融市场规律的前沿理论。
数派理论研究员(若愚)